"الكتاب الذهبي" :كتاب الأولمبياد العالمي للرياضيات
الدكتور عمران قوبا
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"La noblesse des mathématiques est de ne servir à rien"
Les mathématiques expriment toute la beauté de l’esprit humain. Il y a dans les mathématiques une certaine poésie et beaucoup d’élégance. On peut même dire que les maths sont un véritable art dans sa plus grande pureté. Mais comme tout art, les mathématiques sont une discipline qui a ses artistes qui maîtrisent sa grammaire.
L’univers fut édifié par le Très Haut à base de mathématiques. Tout le Cosmos est gouverné par des lois mathématiques. Galilée affirmait que les mathématiques sont l'alphabet avec lequel Dieu a écrit l'univers. Il y a donc un lien intime entre les mathématiques, la philosophie et le spirituel
Les mathématiques impliquent d'utiliser certes la logique implacable et froide mais elles font également appel à l’intuition; elles ne sont donc pas si austères que ça. Il y a même de l’émotion lorsque l’on fait des maths : il n’y a qu’à voir la joie qu’épreuve un élève (ou un chercheur) lorsque celui-ci réussit à résoudre une équation, une démonstration ou un problème qui lui semblait insoluble auparavant.
Malheureusement, il faut reconnaître que les programmes d’enseignement ne sont pas très attrayants et que la manière dont on aborde les mathématiques à l’école ne fait que très peu rêver : c’est le moins qu’on puisse dire. Il faudrait donc trouver une pédagogie qui permette de donner aux maths tout leur charme.
Les mathématiques se distinguent des autres
sciences par un rapport particulier au
réel. Elles sont de nature entièrement intellectuelle, étant fondées sur des
axiomes déclarés
vrais (c'est-à-dire que les axiomes ne sont pas soumis à l'expérience, même s'ils en sont souvent inspirés) ou sur des
postulats provisoirement admis. Un
énoncé mathématique – dénommé généralement, après être validé,
théorème, proposition,
lemme, fait,
scholie ou
corollaire – est considéré comme valide lorsque le discours formel qui établit sa
vérité respecte une certaine structure rationnelle appelée
démonstration, ou raisonnement logico-déductif. Un énoncé présenté comme plausible, mais qui n'a pas encore été établi comme vrai ("démontré", en langage utilisé par les mathématiciens), s'appelle une
conjecture.
Bien que les résultats mathématiques soient des vérités purement formelles, ils trouvent cependant des applications dans les autres
sciences et dans différents domaines de la
technique. C'est ainsi qu'
Eugene Wignerparle de « la déraisonnable efficacité des mathématiques dans les sciences de la nature ».
Le mot « mathématique » vient du
grec, par l'intermédiaire du
latin. Le mot
μάθημα (
máthēma) signifie « science, connaissance » puis « mathématiques » ; il a donné naissance à l'adjectif
μαθηματικός (
mathematikos), d'abord « relatif au savoir » puis « qui concerne les sciences mathématiques ». Cet adjectif a été adopté en latin (
mathematicus) et dans les langues romanes par la suite (« mathématique » en
français,
matematica en
italien,
etc.), ainsi que dans de nombreuses autres langues.
La forme neutre de l'adjectif
μαθηματικός a été substantivée en
τα μαθηματικά (
ta mathēmatiká) pour désigner les sciences mathématiques dans leur ensemble. Cette forme plurielle, utilisée par
Aristote, explique l'usage du pluriel pour le substantif en latin chez
Cicéron (
mathematica) puis en français et dans certaines autres langues européennes. Le singulier (« la mathématique ») est parfois employé en français, mais « le mot donne alors au contexte une teinte d'
archaïsme ou de
didactisme ». Toutefois, certains auteurs, à la suite de
Nicolas Bourbaki, insistent sur l'utilisation du singulier, pour montrer l'uniformisation apportée par l'approche axiomatique contemporaine :
Jean Dieudonné semble être le premier à avoir lancé ce mot d'ordre :
« La Mathématique est une » ; le vaste traité de Bourbaki s'intitule
Éléments de mathématique, tandis que, par contraste, le fascicule historique qui l'accompagne a pour titre
Éléments d'histoire des mathématiques.
Dans l'argot scolaire, le terme « mathématiques » est fréquemment
apocopé en « maths ».
Un découpage des mathématiques en deux, trois ou quatre domaines différents
est couramment utilisé : algèbre et analyse, ou bien algèbre, analyse et géométrie, ou bien
algèbre,
analyse,
géométrie et
probabilités. De tels découpages ne sont pas évidents et les frontières les séparant sont toujours mal définies. En effet, de nombreux résultats font appel à des compétences mathématiques variées. Le
théorème de Wiles, établi en 1994, en est un exemple. Bien que l'énoncé en soit formulé de manière dite arithmétique, la preuve nécessite de profondes compétences en analyse et en géométrie.
L'
algèbre est l'ensemble des méthodes mathématiques visant à étudier et développer les
structures algébriques et à comprendre les relations qu'elles entretiennent entre elles. L'algèbre, au sens actuel, trouve historiquement ses origines dans la compréhension des équations polynomiales et dans les développements des méthodes de résolution : les recherches dans ces domaines ont suscité l'émergence des notions qui fondent la
théorie des groupes, de la
théorie de Galois ou encore de la
géométrie algébrique.
En un sens très restrictif, l'
analyse est la partie des mathématiques s'intéressant aux questions de régularité des applications d'une variable réelle ou complexe : on parle alors plus volontiers d'
analyse réelle ou d'
analyse complexe. En un sens élargi, elle englobe toutes les méthodes mathématiques qui s'y apparentent, et un certain nombre de méthodes pour comprendre et analyser les espaces de fonctions.
La
géométrie tente de comprendre en premier lieu les objets dans l'espace, puis par extension s'intéresse aux propriétés d'objets plus abstraits, à plusieurs dimensions, introduits selon plusieurs approches, relevant autant de l'analyse que de l'algèbre.
Les
probabilités tentent en un sens large de formaliser tout ce qui relève de l'aléatoire. Bien qu'anciennes, elles ont connu un renouveau avec la
théorie de la mesure. La compréhension des lois aléatoires rendant compte au mieux des données déjà réalisées forme les
statistiques.
De nombreux domaines de recherche se situent transversalement par rapport au découpage donné ci-dessus :
- Les mathématiques discrètes (associées à l'essor de l'informatique) sont l'exemple le plus typique de découpage transversal car elles dressent un clivage dans presque toutes les branches des mathématiques (groupes finis, probabilités discrètes, géométrie discrète, optimisation en nombres entiers, nouvelles branches de l'algèbre : monoïdes, dioïdes…)
- La théorie des nombres (qui généralise l'arithmétique élémentaire) utilise tout autant des méthodes analytiques que des méthodes algébriques avancées, pour résoudre des problèmes qui peuvent souvent être énoncés de façon élémentaire.
- La topologie algébrique tend à associer à des objets géométriques de natures diverses des invariants de nature algébrique. Elle se situe donc à la frontière de la géométrie différentielle et de la géométrie algébrique. Toutefois, pour des objets géométriques présentant une certaine structure analytique, ces invariants algébriques peuvent parfois se définir ou se comprendre en faisant uniquement appel à des outils essentiellement d'analyse. La majeure partie de la recherche actuelle en topologie algébrique tend à oublier la structure topologique et à réduire les questions à des problèmes essentiellement d'algèbre.
- En un certain sens, les systèmes dynamiques se situent entre la géométrie, l'analyse et les probabilités. Ils tendent à comprendre de manière qualitative ce qui s'assimile à une loi d'évolution. Les objets étudiés relèvent de l'analyse (équations différentielles par exemple), des probabilités (itération d'une bijection mesurable), ou de la géométrie (espaces homogènes). Le traitement qui y est consacré fait l'objet d'interprétations essentiellement de nature géométrique, tout en utilisant des outils avancés d'analyse fonctionnelle, de théorie des processus, de géométrie différentielle, etc. Des résultats d'arithmétique peuvent aussi être obtenus par des considérations relevant des systèmes dynamiques.
- La géométrie différentielle se situe à la frontière de la géométrie et de l'analyse, et ce à plusieurs égards. La définition de ces objets d'étude fait appel aux théorèmes de calcul différentiel, mais l'étude elle-même est grande consommatrice d'analyse. Des liens entre géométrie différentielle et probabilités existent aussi.
- La géométrie algébrique est l'exemple d'un domaine en un sens strict à la rencontre de l'algèbre et de la géométrie. Elle trouve ses origines dans les travaux sur la résolution des équations cubiques. Le premier objet d'étude de la géométrie algébrique est la variété algébrique, lieu d'annulation d'équations polynomiales : il a une signification à la fois algébrique et géométrique. Ce domaine connut un fort développement au XIX siècle, avec notamment le théorème de Bézout. Les développements récents initiés par Grothendieck connaissent de nombreuses applications en théorie des nombres, ce qui constitue la géométrie arithmétique.
- La théorie des opérateurs relève plutôt de l'analyse, ou encore de l'analyse fonctionnelle (par exemple, pour les problèmes de régularité des solutions d'équations aux dérivées partielles elliptiques, notamment le problème de Poisson). Mais cette théorie connaît de nombreuses applications en géométrie différentielle où le langage des opérateurs s'avère particulièrement adapté. Le développement de la théorie des opérateurs a fait appel à des méthodes de nature probabiliste, notamment pour ce qui s'appelle le calcul fonctionnel. Cette théorie trouve des extensions en géométrie non commutative. Les objets d'études se trouvent être des généralisations d'algèbres d'opérateurs.
Navstar-2 - La conquête spatiale : grande consommatrice de mathématiques appliquées.
Simulation numérique d'un crash d'une voiture. - L'
analyse numérique : domaine applicatif des mathématiques.
On fait parfois la distinction entre mathématiques pures et mathématiques appliquées :
- Les mathématiques pures ont pour objectif le développement des connaissances mathématiques pour elles-mêmes sans aucun intérêt a priori pour les applications, sans aucune motivation d'autres sciences. L'objet de la recherche mathématique peut ainsi être une meilleure compréhension d'une série d'exemples particuliers abstraits, sur lesquels s'appuie et se développe la réflexion mathématique, la généralisation d'un aspect d'une discipline ou la mise en évidence de liens entre diverses disciplines des mathématiques.
- Au contraire, les mathématiques appliquées sont la mise en œuvre des connaissances mathématiques pour les besoins de formalisme d'autres sciences (physique, informatique, biologie, astrophysique…), et pour des applications industrielles (ingénierie par exemple). Elles tendent à développer ces outils mathématiques pour répondre à ces demandes, pour résoudre des problèmes posés en termes concrets.
En France, cette distinction structure souvent les équipes de recherche, sans forcément hypothéquer les possibilités d'interactions entre elles. Toutefois, la pertinence de cette distinction est remise en cause par un certain nombre de mathématiciens. L'évolution des domaines et de leurs objets d'étude peut également contribuer à déplacer une éventuelle frontière ou notion de séparation. Selon une boutade d'
Ian Stewart, auteur de nombreux ouvrages portant sur les mathématiques populaires, dans son œuvre intitulée
Mon cabinet des curiosités mathématiques,
« La relation entre les mathématiciens purs et appliqués est fondée sur la confiance et la compréhension. Les mathématiciens purs ne font pas confiance aux mathématiciens appliqués, et les mathématiciens appliqués ne comprennent pas les mathématiciens purs. »
Les mathématiques appliquées, en un sens mal définies, comprennent entre autres l'
analyse numérique, les
statistiques appliquées et la théorie de l'
optimisation mathématique. Certains domaines de recherche des mathématiques sont nés à la frontière avec d'autres sciences (voir ci-dessous).
Les questions traditionnelles que se pose la philosophie au sujet des mathématiques peuvent se classer selon trois thèmes :
- La nature des objets mathématiques : s'ils existent par eux-mêmes, ou bien s'ils sont des constructions mentales ? Quelle est la nature d'une démonstration ? Quels sont les liens entre la logique et les mathématiques ?
- L'origine de la connaissance mathématique : d'où vient la vérité des mathématiques, et de quelle nature est-elle ? Quelles sont les conditions pour que des mathématiques existent, et leur lien avec l'homme ? Quels sont les impacts de la structure de la pensée humaine sur la forme et le développement des mathématiques actuelles ? Les limites qu'elle induit ?
- La relation des mathématiques avec la réalité : quelle relation les mathématiques abstraites entretiennent-elles avec le monde réel ? Quels sont les liens avec les autres sciences ?
Les mathématiques sont parfois surnommées « reine des sciences ». Cependant, l'expression remonte à
Carl Friedrich Gauss :
Regina Scientiarum et le mot
scientiarium signifie en réalité « des
connaissances ».
Censément, les mathématiques utilisent la
logique comme outil pour démontrer des
véritésorganisées en
théories. Une première analyse laisse espérer qu'une utilisation puissante de cet outil tellement sûr, une réduction toujours plus poussée des bases, les
axiomes, sur lesquelles s'échafaude l'édifice mathématique, finissent par mener à un corpus de faits incontestables. Plusieurs obstacles se dressent pourtant.
D'une part, en tant qu'activité humaine, les mathématiques s'éloignent du modèle d'une construction suivant scrupuleusement les lois de la logique et indépendante du réel. Citons un fait et un phénomène pour illustrer cela. Tout d'abord, les démonstrations que rédigent les mathématiciens ne sont pas formalisées au point de suivre en détail les lois de la logique, car cela est impossible en un temps raisonnablement court. Comme pour n'importe quelle science. l'acceptation de la véracité d'une démonstration, et donc d'un théorème, repose
in fine sur un
consensus de spécialistes au sujet de la validité de l'approximation de démonstration formelle proposée (
La structure des révolutions scientifiques de
Thomas Samuel Kuhn). L'avènement de l'
informatique a cependant changé la donne, au moins marginalement, puisque celle-ci permet de formaliser et de vérifier des démonstrations de plus en plus complexes.
Cependant l'activité mathématique est loin de se réduire à la recherche de démonstrations et à la vérification de celles-ci. La confiance que la communauté mathématique place dans un de ses membres qui propose un résultat nouveau intervient dans la réception qu'aura ce résultat, et ce d'autant plus s'il est inattendu ou modifie la façon de voir les choses. On peut prendre pour exemple historique les controverses sur les
géométries non euclidiennes au
XIX siècle, durant lequel les travaux de
Lobatchevski ont été largement ignorés ; ou bien, dans un autre ordre d'idée, la difficulté de la réception des travaux du jeune républicain
Galois au début du même siècle, notamment par
Cauchy. La sociologie des mathématiques étudie de tels phénomènes (voir
sociologie des sciences).
D'autre part, la solidité même des bases ne peut reposer sur les seules mathématiques. En effet les
théorèmes d'incomplétude, démontrés par
Kurt Gödel dans la première moitié du
XX siècle, montrent que, contrairement à
ce qu'espérait David Hilbert, il est impossible de réduire formellement les bases des mathématiques en un système dont la sûreté se démontre à partir de celles-ci, et cela entraîne que certaines propriétés considérées « vraies » resteront inaccessibles à la démonstration, quels que soient les axiomes choisis.
L'enseignement des mathématiques peut aussi bien désigner l'apprentissage des notions mathématiques fondamentales ou élémentaires de base que l'apprentissage et l'initiation à la recherche (
enseignement supérieur des mathématiques). Suivant les époques et les lieux, les choix des matières enseignées et les méthodes d'enseignement changent (
mathématiques modernes, méthode de Moore, éducation classique…). Dans certains pays, le choix des programmes
scolaires dans l'éducation publique est fait par des institutions officielles.
La recherche mathématique ne se limite pas qu'à la démonstration des
théorèmes. L'une des méthodes les plus fructueuses de recherche mathématique est la mise en rapprochement de domaines
a priori éloignés en mettant en lumière des phénomènes analogues (par exemple, la
géométrie euclidienne et les
équations différentielles linéaires). Voir des phénomènes analogues se produire peut conduire à vouloir adapter des résultats d'un domaine des mathématiques à un autre, à reformuler des éléments de démonstration en termes équivalents, à tenter une
axiomatisation d'un objet (par exemple, ce pourrait être la notion d'
espace vectoriel) qui regrouperait les deux domaines… Dans ce dernier cas, ce nouvel objet deviendrait alors un objet d'étude par lui-même. Dans certains cas, l'identification d'objets
a priori différents devient nécessaire : le langage des catégories permet de faire ce genre de choses.
Une autre méthode de recherche est la confrontation aux exemples et aux cas particuliers. Cette confrontation peut permettre de réfuter des propriétés qu'on pensait ou espérait être vraies (
conjectures). Au contraire, elle peut permettre de vérifier des propriétés ou d'amener à les formaliser. Par exemple, en
géométrie riemannienne, l'étude des surfaces (donc des objets en
dimension 2) et de leurs
géodésiques a finalement conduit
Anosov à formaliser le
difféomorphisme d'Anosov, une transformation possédant d'intéressantes propriétés dynamiques.
Les mathématiques utilisent un langage qui leur est propre. Certains termes du langage courant, comme
groupe,
anneau,
corps ou
variété peuvent être empruntés et redéfinis pour désigner des objets mathématiques. Mais souvent des termes sont formés et introduits selon les besoins :
isomorphisme,
topologie,
itération… Le nombre élevé de ces termes rend difficile la compréhension des mathématiques par les non mathématiciens.
Les mathématiques entretiennent des rapports particuliers avec toutes les
sciences, au sens large du terme. L'analyse de données (interprétation graphique, données statistiques…) fait appel à des compétences mathématiques variées. Mais des outils avancés de mathématiques interviennent dans les
modélisations.
Toutes les sciences dites dures, à l'exception des mathématiques, tendent à une compréhension du monde réel. Cette compréhension passe par la mise en place d'un modèle, prenant en compte un certain nombre de paramètres considérés comme causes d'un phénomène. Ce modèle constitue un objet mathématique, dont l'étude permet une meilleure compréhension du phénomène étudié, éventuellement une prédiction qualitative ou quantitative quant à son évolution future.
La modélisation fait appel à des compétences relevant essentiellement de l'analyse et des probabilités, mais les méthodes algébriques ou géométriques s'avèrent utiles.
Les mathématiques sont nées d'une volonté de compréhension de l'espace ambiant : la géométrie naît de la modélisation de formes idéalisées, et l'arithmétique des besoins des gestions des quantités.
Astronomie et
géométrie se sont longtemps confondues, jusque dans les civilisations islamiques. Les mathématiques et la physique, après s'être différenciées, ont gardé d'étroits liens. Dans l'histoire contemporaine de ces deux sciences, les mathématiques et la physique se sont influencées mutuellement. La physique moderne use abondamment des mathématiques, en faisant une modélisation systématique pour comprendre les résultats de ses expériences :
- Cette modélisation peut faire appel à des outils mathématiques déjà développés. Ainsi l'usage des métriques en géométrie différentielleest un outil essentiel sur lequel repose notamment la relativité générale, développée par le mathématicien Minkowski puis par le physicien Einstein. Cet usage est aussi utilisé dans les autres théories post-newtoniennes.
- Cette modélisation encourage les mathématiciens à s'intéresser davantage à telle ou telle structure mathématique pour les besoins de la physique.
- Cette modélisation demande parfois au contraire des outils mathématiques non encore développés et ouvre des nouvelles perspectives mathématiques. Ainsi, Isaac Newton a-t-il développé lecalcul différentiel pour pouvoir écrire les lois (classiques) du mouvement ; s'intéressant à la diffusion de la chaleur dans les corps,Joseph Fourier découvre les séries qui portent son nom, porte ouverte sur la théorie de Fourier ;… Plus récemment, citons les problèmes de quantification géométrique, d'intégrales de Feynman, de polynômes de Donaldson…
Un domaine de recherche spécifique, la
physique mathématique, tend précisément à développer les méthodes mathématiques mises à l'usage de la physique.
Le lien étroit entre mathématiques et physique se reflète dans l'enseignement supérieur des mathématiques. L'enseignement de la physique fait appel à des cours de mathématiques pour physiciens ; et il n'est pas rare que les cursus de mathématiques dans les universités incluent une initiation facultative à la physique.
Néanmoins, le célèbre physicien
Albert Einstein est un des premiers à
relativiser le domaine des mathématiquesdans le domaine de l'approche physicienne, en « destituant » la géométrie euclidienne par sa propre
Théorie de la relativité générale, ainsi que par ses termes : « Pour autant que les propositions de la mathématique se rapportent à la réalité, elles ne sont pas certaines, et pour autant qu'elles sont certaines, elles ne se rapportent pas à la réalité. » (conférence berlinoise de 1921,
la géométrie et l'expérience).
L'essor des techniques au
XX siècle a ouvert la voie à une nouvelle science, l'
informatique. Celle-ci est intimement liée aux mathématiques, de diverses manières : certains pans de la recherche en
informatique théorique peuvent être considérés comme d'essence mathématique, d'autres branches de l'informatique faisant plutôt usage des mathématiques. Les nouvelles technologies de communication ont quant à elles ouvert la voie aux applications à des branches des mathématiques parfois très anciennes (
arithmétique), notamment en ce qui concerne les problèmes de sécurité des transmissions :
cryptographie et
théorie des codes.
En contrepartie, les sciences informatiques influencent l'évolution moderne des mathématiques.
L'informatique est également devenu un outil essentiel à la découverte ou à la démonstration de certains théorèmes mathématiques. L'exemple le plus célèbre est celui du
Théorème des quatre couleurs, démontré en 1976 à l'aide d'un ordinateur, car certains des calculs nécessaires sont trop complexes pour être réalisés à la main. Cette évolution bouleverse les mathématiques traditionnelles, où la règle était que le mathématicien puisse vérifier de lui-même chaque partie de la démonstration. En 1998, la
Conjecture de Kepler semble avoir également été démontrée par ordinateur, et une équipe internationale travaille depuis sur la rédaction d'une preuve formelle.
En effet, si la preuve est rédigée de façon formelle, il devient alors possible de la vérifier à l'aide d'un logiciel particulier, appelé
assistant de preuve. C'est la meilleure technique connue pour être (presque) certain qu'une démonstration assistée par ordinateur ne souffre d'aucun
bug. En l'espace d'une trentaine d'années, le rapport entre les mathématiciens et l'informatique s'est donc complètement renversé : d'abord instrument suspect à éviter si possible dans l'activité mathématique, l'ordinateur est devenu au contraire un outil incontournable.
La
biologie est grande consommatrice de mathématiques et notamment de probabilités. La dynamique d'une population se modélise couramment par des
chaînes de Markov (théorie des processus discrets) ou par des
équations différentielles couplées. Il en va de même pour l'évolution des génotypes : le
principe de Hardy-Weinberg, souvent évoquée en génétique, relève de propriétés générales sur les processus à temps discret (existence de lois limites). Plus généralement, la
phylogéographie fait appel à des modélisations probabilistes. De plus, la médecine use de tests (statistiques) pour comprendre la validité de tel ou tel traitement. Un domaine spécifique de recherche à la frontière de la biologie est né : la
biomathématique.
Depuis le début du
XXI siècle, la
chimie organique a fait appel à l'informatique pour pouvoir modéliser les molécules en trois dimensions : il s'avère que la forme d'une
macromolécule en biologie est variable et détermine son action. Cette modélisation fait appel à la
géométrie euclidienne ; les atomes forment une sorte de
polyèdredont les distances et les angles sont fixés par les lois d'interaction.
Notamment, les
mathématiques financières sont une branche des mathématiques appliquées visant à la compréhension de l'évolution des marchés financiers et de l'estimation des risques. Cette branche des mathématiques se développe à la frontière des probabilités et de l'analyse et use des statistiques.
Beaucoup plus subtil est le cas de l'
économie mathématique. Le
postulat fondamental de cette discipline est que l'activité économique peut se comprendre à partir d'un axiome de nature
anthropologique, celui de l'acteur individuel rationnel. Dans cette vision, chaque individu cherche par ses actions à accroître un certain
profit, et ce de façon
rationnelle. Cette sorte de vision
atomiste de l'économie permet à celle-ci de mathématiser relativement aisément sa réflexion, puisque le
calcul individuel se transpose en calcul mathématique. Cette modélisation mathématique en économie permet de percer à jour des mécanismes économiques qui n'auraient pu être découverts que très difficilement par une analyse « littéraire ». Par exemple, les explications des
cycles économiques ne sont pas triviales. Sans modélisation mathématique, on peut difficilement aller au-delà du simple constat statistique ou des spéculations non prouvées. Toutefois, certains sociologues, comme
Bourdieu, et même certains économistes, refusent ce postulat de l'
homo œconomicus, en remarquant que les motivations des individus comprennent non seulement le
don, mais dépendent également d'autres enjeux dont l'intérêt financier n'est qu'une partie, ou tout simplement ne sont pas rationnelles. La
mathématisation est donc selon eux un habillage permettant une valorisation scientifique de la matière.
On assiste également au début du
XX siècle, à une réflexion pour mettre les mouvements historiques en formule, comme le fait
Nikolaï Kondratiev qui discerne un
cycle de base pour expliquer les phases d'expansion et de crise en économie politique, ou
Nicolas-Remi Brück et
Charles Henri Lagrange qui, dès la fin du
XIX siècle, ont amplifié leur analyse jusqu'à pénétrer dans le domaine de la
géopolitique en voulant établir l'existence, dans l'histoire, de mouvements de vaste amplitudes qui mènent les peuples à leur apogée, puis à leur déclin
Cependant une mathématisation des sciences humaines n'est pas sans danger. Dans l'essai polémique
Impostures intellectuelles,
Sokal et
Bricmont dénoncent la relation non fondée ou abusive d'une terminologie scientifique, en particulier mathématique et physique, dans le domaine des sciences humaines. L'étude de systèmes complexes (évolution du chômage, capital d'une entreprise, évolution démographique d'une population…) fait appel à des connaissances mathématiques élémentaires mais le choix des critères de comptage, notamment dans le cas du chômage, ou de la modélisation peut être sujet à polémique.
Les mathématiques ont entretenu pendant longtemps des liens très étroits avec l'
astrologie. Celle-ci, par le biais de thèmes astraux, a servi de motivation dans l'étude de l'astronomie. Des mathématiciens de renom furent également considérés comme des grands astrologues. On peut citer
Ptolémée, les astronomes de langue arabe,
Regiomontanus,
Cardan,
Kepler, ou encore
John Dee. Au Moyen Âge, l'astrologie est considérée comme une science se rangeant dans les mathématiques. Ainsi
Theodor Zwingler signale dans sa grande encyclopédie, concernant l'astrologie, que c'est une science mathématique traitant du
« mouvement actif des corps en tant qu'ils agissent sur d'autres corps » et réserve aux mathématiques le soin de
« calculer avec probabilité les influences [des astres] » en prévoyant leur
« conjonctions et oppositions ». Les
théories astrologiques occidentales contemporaines se targuent de suivre des méthodes scientifiques. En particulier, l'
astrologie statistique utilise les tests statistiques pour mettre en évidence d'éventuelles
corrélations entre la position des astres et le devenir des hommes. Toutefois, ces études initiées par
Choisnard et
Gauquelin, menées à la marge de la recherche scientifique, n'ont, en date de 2009, pas été productives et n'ont réussi à donner aucune preuve recevable d'un lien de cause à effet.
Les mathématiques sont aussi une composante de l'
ésotérisme. Très fréquemment, les mathématiciens eux-mêmes ont été tentés de trouver dans la figure ou le nombre un sens caché servant de clé dans la découverte du monde. Dans l'école pythagoricienne, chaque nombre a une signification symbolique et le serment des initiés se serait énoncé devant une
tretraktys De même
Platon ne se contente pas d'énumérer les
solides qui portent son nom il attribue à chacun d'eux une nature (eau, terre, feu, air, univers). L'arithmosophie, la
numérologie, la
gématrie, l'
arithmancie tentent, à travers des calculs sur les nombres, de trouver des significations cachées à des textes ou d'en extraire des propriétés prédictives. On retrouve cette fascination pour le nombre et la figure encore de nos jours où certains attribuent des vertus cachées à un
pentacle ou un
nombre d'or.
Les notes qui sonnent bien ensemble à une oreille occidentale sont des sons dont les
fréquences fondamentales de vibration sont dans des rapports simples. Par exemple, l'
octave est un doublement de fréquence, la
quinte une multiplication par
3/2.
Les harmoniques sur une portée.
Si la courbe tracée en rouge, qui suit les notes harmoniques, a une allure
logarithmique, cela correspond au rapport entre deux phénomènes :
- d'une part, la représentation de la hauteur d'un son par notre système auditif qui est proportionnelle au logarithme de la fréquence du son (une fréquence double correspond toujours à la même « distance sonore » appelée octave) ;
- d'autre part, les fréquences harmoniques qui sont des multiples entiers de la fréquence fondamentale.
Fractale possédant une symétrie d'échelle et une symétrie centrale.
Les Occidentaux associent une certaine
beauté aux figures symétriques. Une
symétrie d'une figure géométrique est, intuitivement, l'existence d'un motif de la figure qui se répète suivant une règle précise, tout en étant partiellement transformé. Mathématiquement, une symétrie est l'existence d'une action non triviale d'un
groupe, très souvent par
isométrie, c'est-à-dire qui préserve les distances sur la figure. En d'autres termes, l'intuition de la règle est mathématiquement réalisée par le fait que c'est un groupe qui agit sur la figure, et le sentiment qu'une règle régit la symétrie est précisément dû à la structure algébrique de ce groupe.
Par exemple, le groupe lié à la symétrie miroir est le
groupe cyclique à deux éléments, ℤ/2ℤ. Un
test de Rorschach est une figure invariante par cette symétrie, de même qu'un
papillon et plus généralement le corps des animaux, du moins en surface. Lorsqu'on dessine la surface de la mer, l'ensemble des vagues possède une symétrie par translation : bouger notre regard de la longueur séparant deux crêtes de vagues ne change pas la vue que l'on a de la mer. Un autre cas de symétrie, cette fois non isométrique et presque toujours seulement approximative, est celui présenté par les
fractales : un certain motif se répète à toutes les échelles de vision.
La vulgarisation mathématique a pour objectif de présenter les mathématiques en un langage dénué de termes techniques. Comme l'objet d'études des mathématiques n'est pas réel, elle use souvent d'un vocabulaire imagé, et de comparaisons ou analogies non rigoureuses, pour faire sentir l'idée des développements mathématiques. Parmi les ouvrages qui se fixent ce but, citons
Oh, les maths de
Yakov Perelman et
Le livre qui rend fou de
Raymond Smullyan. Toutefois, les mathématiques font rarement l'objet de vulgarisation dans des journaux écrits ou télévisés.
La revue
Tangente, l'aventure mathématique est le principal magazine de vulgarisation mathématique édité en France.
Si nombre de biographies portent sur les mathématiciens, les mathématiques sont un thème certes peu exploité dans la littérature ou la filmographie, mais présent.
- Pièces de théâtre
- Spécialistes de théâtre de sciences
- Le Théâtre scientifique de Louis Figuier, Fabienne Cardot, Romantisme, 1989
- Théâtre et sciences, Le double fondateur, Jacques Baillon, L'Harmattan, 1998
- La Recherche théâtrale dans un institut technologique et scientifique, Ouriel Zohar, dans Théâtre et Science, éd. P Lucile Garbagnati, F. Montaclair et D. Vingler, Presses du Centre Unesco de Besançon et du Théâtre de l'Université de Franche-Comté, Besançon, 1998.
- Théâtre et matière, Les moteurs de représentation, Jacques Baillon, L'Harmattan, 2002
- Le Théâtre de sciences, Michel Valmer, CNRS Éditions, 2006
- Science on stage, from D Faustus to Copenhagen, Kirsten Sheperd-Barr, Princeton University Press, 2006.
- Le Modèle scientifique dans le théâtre de Tom Stoppard, Liliane Campos, dans Epistémocritique, Revue d'études et de recherches sur la littérature et les savoirs, vol. II, 2008
- L'île logique, théâtre et clowns sur la logique, les mathématiques et la physique théorique (CNRS, école Polytechnique), Cédric Aubouy. 2008.
- Numb3rs, série de Nicolas Falacci et Cheryl Heuton.
- Eureka, série télévisée créée par Andrew Cosby et Jaime Paglia.
- Stargate Universe, série télévisée créée par Brad Wright et Robert C. Cooper.
- ↑ (en) E. Wigner, 1960, « The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences »,Commun. Pure Appl. Math. (en) 13(1): 1–14.
- ↑ (en) Article mathematic de l'Oxford English Dictionary (accès restreint).
- ↑ (en) The Oxford Dictionary of English Etymology, Oxford University Press.
- ↑ Colin, 1971, cité à l'article mathématique du TLFi.
- ↑ (en) Euclid's Elements (site interactif).
- ↑ Michel Paty, mathesis universalis et intelligibilité chez Descartes [PDF].
- ↑ Conférence sur les fondements des mathématiques, par Jean-Yves Girard, 17 juin 2002, Université de tous les savoirs.
- ↑ «Relations between pure and appplied mathematicians are based on trust and understanding. Pure mathematicians do not trust applied mathematicians, and applied mathematicians do not understand pure mathematicians», in Professor Stewart's Cabinet of Mathematical Curiosities
- ↑ (en)Mathematics, sur Crystalinks.com.
- ↑ (en)Voir le numéro spécial de décembre 2008 des Notices of the American Mathematical Societyconsacré à la démonstration formelle.
- ↑ Nicolas Bouleau, Actes du Groupe canadien d'études en didactique des mathématiques [PDF], page 24.
- ↑ Notice sur Charles Lagrange par André Jaumotte (Université libre de Bruxelles), sur le site de l'Académie royale de Belgique
- ↑ Dictionnaire en économie et science sociale, Ed.Nathan Paris, dictionnaire Larousse en 3. vol, Paris. Les définitions des cycles sont nombreuses, entre autres, en sciences: évolution de systèmes qui les ramènent à leur état initial ou, en sociologie, mouvement(s) récurrent(s) d'activité(s) politique(s) et économique(s).
- ↑ Guy Beaujouan, « Comprendre et maîtriser la nature au Moyen Âge », Hautes Études Médiévales et Modernes, Vol.13, Librairie Droz, 1994, p. 130
- ↑ A. Dahan-Dalmedico et J. Peiffer (lb), Une histoire des mathématiques – Routes et dédales, 1986 [détail des éditions], p. 47.
- ↑ Platon, Le Timée, 53 c - 56c
- ↑ Jean-Philippe Rameau, Traité de l'harmonie réduite à ses principes naturels, Paris, 1722, réédité en(ISBN 2-86-563157-5 et 2-05-100787-X).
- ↑ http://accromath.uqam.ca/
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